Возможен, для этого нужно использовать гранулярные Подсказки.

Посмотрите пример.

После этого можно вытаскивать из ответа Подсказок параметр data.city_district и подставлять его в нужное вам поле.

Да, именно так.
Дело в том, что Подсказки работают по ФИАС, а в ФИАС нет районов города. Мы их проставляем из другого справочника, но только для полного адреса.

Добрый день!

К сожалению, мы отдаем район только при выборе конкретной Подсказки. Выводить район как часть адреса не получится.

Скажите, а зачем вам такая функциональность?