Пока нет.

Хранить ФИАС-код и дополнительно адрес в удобном для вас виде. Например, одной строкой, как возвращает API «Дадаты», или в виде набора отдельных полей, которые оно тоже возвращает.

Пожалуйста! Если будут вопросы — дайте знать.

Пока вы первые, кому она понадобилась. Будет большой спрос — добавим.

Дописать к названию компании город, улицу, ФИО гендиректора или ИНН.

Такой возможности нет, потому что задача «подсказок» — помочь человеку при вводе данных, а не показать все возможные варианты. Если нужного варианта нет в списке, просто продолжайте ввод, и он появится.

Количество подсказок в списке регулируется параметром count.

Добрый день! Дату рождения налоговая не сообщает, так что по ней в принципе искать нельзя. По ФИО можно искать в API Подсказок, например:

curl -X POST \
    -H "Content-Type: application/json" \
    -H "Accept: application/json" \
    -H "Authorization: Token ***" \
    -d '{ "query": "Чех Илья Игоревич" }' \
    https://suggestions.dadata.ru/suggestions/api/4_1/rs/suggest/party

Но там это вспомогательный поисковый критерий, поэтому ищет он только среди ИП и основных руководителей юрлица.

А для чего вам дата постановки на учёт, как стали бы использовать?

«Дадата» возвращает только ту, что в выписке называется «дата регистрации». Поле data.state.registration_date